Class 6 Maths Chapter 3 Solutions in Hindi संख्याओं का खेल

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Ganita Prakash Class 6 Maths Chapter 3 Solutions in Hindi Medium

पृष्ठ 55

विभिन्न परिस्थितियों के विषय में सोचिए, जहाँ हम संख्याओं का उपयोग करते हैं। पाँच विभिन्न परिस्थितियों की सूची बनाइए, जहाँ हम संख्याओं का उपयोग करते हैं। अपने सहपाठियों द्वारा बनाई गई सूची को देखिए, उसे साझा कीजिए तथा उस पर चर्चा कीजिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। कुछ परिस्थितियाँ नीचे दर्शाए अनुसार सूची बनाई जा सकती है:

• क्रिकेट, हॉकी, फुटबॉल, बैडमिंटन, इत्यादि जैसे विभिन्न खेलों को खेलने में।
• विभिन्न वस्तुएँ खरीदने में।
• दो स्थानों के बीच की दूरियाँ ज्ञात करने में।
• विभिन्न क्रियाकलापों के लिए समय अवधि परिकलित करने में।
• विद्यार्थियों या खिलाड़ियों का उनके प्रदर्शनों के अनुसार क्रम बताने में।

पृष्ठ 56

नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए और अपने तर्क को साझा कीजिए-

प्रश्न 1.
क्या बच्चे अपने आपको इस प्रकार पुनः व्यवस्थित कर सकते हैं कि अंत में खड़े बच्चे ‘2’ कह सकें?
हल:
नहीं।

प्रश्न 2.
क्या हम बच्चों को एक पंक्ति में इस प्रकार खड़ा कर सकते हैं कि सभी ‘0’ कह सकें?
हल:
हाँ, यदि सभी बच्चै समान ऊँचाई के हैं।

प्रश्न 3.
क्या दो साथ खड़े बच्चे समान संख्या कह सकते हैं?
हल:
हाँ, जैसा कि पुस्तक के पृष्ठ 55 पर दी गई आकृति में दर्शाया गया है।

प्रश्न 4.
एक समूह में भिन्न ऊँचाइयों वाले 5 बच्चे हैं। क्या वे इस प्रकार खड़े हो सकते हैं कि उनमें से चार ‘1’ कहें तथा आखिरी ‘0’ कहें? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
हाँ, आकृति को देखिए।

प्रश्न 5.
क्या 5 बच्चों के इस समहू में 1, 1, 1, 1, 1 का अनुक्रम संभव है?
हल:
नहीं।

प्रश्न 6.
क्या अनुक्रम 0, 1, 2, 1, 0 संभव है? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
हाँ, आकृति को देखिए।

प्रश्न 7.
आप 5 बच्चों को किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे कि अधिक से अधिक बच्चे ‘2’ कह सकें।
हल:
इसके लिए नीचे दी गई आकृति को देखिए।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 57-58)

प्रश्न 1.
नीचे दी गई सारणी में महाकोष्ठ को रंगीन या चिह्नित कीजिए।

हल:
संख्याओं 6828, 9435 और 8000 को छायांकित कीजिए या उन पर ‘ ‘ अंकित कीजिए।

प्रश्न 2.
नीचे दी गई सारणी को चार अंकों वाली संख्याओं से इस प्रकार भरिए कि प्रत्येक रंगीन कोष्ठ ही महाकोष्ठ हो।

हल:

नोट- इस सारणी को अनेक विधियों से भरा जा सकता है।

प्रश्न 3.
नीचे दी गई सारणी को इस प्रकार भरिए कि हमें अधिक से अधिक महाकोष्ठ प्राप्त हों। बिना दोहराए 100 से 1000 के बीच की संख्याओं का उपयोग कीजिए।

हल:

103, 850, 900, 840 और 996 वाले कोष्ठ महाकोष्ठ हैं।

प्रश्न 4.
उपरोक्त सारणी में 9 संख्याओं में से कितने महाकोष्ठ हैं?
हल:
उपरोक्त सारणी में 5 महाकोष्ठ हैं।

प्रश्न 5.
भिन्न संख्याओं के कोष्ठों में कितने महाकोष्ठ संभव हैं? क्या आपको इनमें कोई पैटर्न दिखाई देता है? दी गई सारणी को भरने का वह कौन सा तरीका होगा जिससे हमें अधिक से अधिक महाकोष्ठ प्राप्त हों? ढूँढ़िए और अपनी योजना को साझा कीजिए।
हल:
2 संख्याओं के लिए, 1(\(\frac{2}{2}\)) महाकोष्ठ संभव है;
3 संख्याओं के लिए, \(\frac{3+1}{2}\) = 2 महाकोष्ठ संभव हैं;
4 संख्याओं के लिए, \(\frac{4}{2}\) = 2 महाकोष्ठ संभव हैं:
5 संख्याओं के लिए, \(\frac{5+1}{2}\) = 3 महाकोष्ठ संभव हैं:
6 संख्याओं के लिए, \(\frac{6}{2}\) = 3 महाकोष्ठ संभव हैं; आगे भी ऐसा होता रहता है।
इस प्रकार, पैटर्न यह है:
(a) यदि दी हुई संख्याओं की संख्या सम ( 2, 4, 6, …) है, तो अधिकतम संभव महाकोष्ठों की संख्या = वह सम संख्या/2 होती है।
उदाहरणार्थ, 10 संख्याओं के लिए महाकोष्ठों की अधिकतम संख्या \(\frac{10}{2}\) = 5 होगी।
(b) यदि दी हुई संख्याओं की संख्या विषम (1, 3, 5, 7, 9, …) है, तो अधिकतम संभव महाकोष्ठों की संख्या (वह विषम संख्या + 1)/2, होती है।
उदाहरणार्थ, 9 संख्याओं के लिए, महाकोष्ठों की अधिकतम संख्या \(\frac{9+1}{2}\) = 5 होगी।

प्रश्न 6.
क्या आप संख्याओं को बिना दोहराए एक रिक्त महाकोष्ठ सारणी को इस प्रकार भर सकते हैं कि उसमें कोई महाकोष्ठ न हो? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
नहीं, यह संभव नहीं है।

प्रश्न 7.
क्या एक सारणी में सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, हमेशा महाकोष्ठ होगा? क्या एक सारणी में सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो सकता है? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
हाँ, क्योंकि सबसे बड़ी संख्या सदैव किसी भी संख्या से बड़ी होगी।
नहीं, क्योंकि सबसे छोटी संख्या शेष संख्याओं में से किसी से भी बड़ी नहीं हो सकती है।

प्रश्न 8.
एक सारणी को इस प्रकार से भरिए कि दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो।
हल:

यहाँ, दूसरी सबसे बड़ी संख्या 7450 एक महाकोष्ठ नहीं है।

प्रश्न 9.
एक सारणी को इस प्रकार से भरिए कि दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो, लेकिन दूसरी सबसे छोटी संख्या वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो? क्या यह संभव है?
हल:

यहाँ, दूसरी सबसे छोटी संख्या 2500 एक महाकोष्ठ है, परंतु दूसरी सबसे बड़ी संख्या 7600 एक महाकोष्ठ नहीं है। हाँ।

प्रश्न 10.
इस पहेली के अन्य रूप बनाइए और अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।

पृष्ठ 58-59

1, 0, 6, 3 और 9 अंकों का किसी भी क्रम में प्रयोग करके पाँच अंकों की संख्याएँ बनाइए और सारणी 2 को पूरा कीजिए। केवल रंगीन कोष्ठ में समीपवर्ती कोष्ठों की संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए।

सारणी में सबसे बड़ी संख्या __________________ है।
सारणी में सबसे छोटी सम संख्या __________________ है।
सारणी में 50,000 से बड़ी सबसे छोटी संख्या __________________ है।
हल:

सारणी दर्शाए अनुसार भर दी गई है।
सारणी में सबसे बड़ी संख्या 96,310 है।
सारणी में सबसे छोटी सम संख्या 19,036 है।
सारणी में 50,000 से बड़ी सबसे छोटी संख्या 60,193 है।
नोट: उपरोक्त प्रश्नों के उत्तर अद्वितीय नहीं हो सकते हैं। यह इस पर निर्भर करता है कि सारणी को किन संख्याओं से भरा गया है, (जैसे 96013 या 96130 या 60931 इत्यादि से)।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 59)

नीचे दी गई संख्या रेखा पर चिह्नित संख्या को पहचान कर, नीचे दिए गए संख्या अनुक्रमों को पूरा कीजिए।

उपरोक्त अनुक्रमों में सबसे छोटी संख्या पर गोला लगाइए तथा सबसे बड़ी संख्या पर बॉक्स बनाइए।
हल:
(a), (b), (c) और (d) में दी गई संख्या रेखाओं पर संख्याएँ अंकित कर दी गई हैं। प्रत्येक संख्या रेखा में, सबसे छोटी संख्या पर एक गोला लगा दिया गया है तथा सबसे बड़ी संख्या पर एक बॉक्स बना दिया गया है।

पृष्ठ 60

2 अंक, 3 अंक 4 अंक और 5 अंकों वाली कुल कितनी संख्याएँ होगी ज्ञात कीजिए।

हल:
सारणी को आवश्यकता अनुसार भर दिया गया है:

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 60)

प्रश्न 1.
अंकों का योग 14
(a) अन्य संख्याएँ लिखिए जिनके अंकों का योगफल 14 है।
(b) वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है, जिसके अंकों का योगफल 14 है?
(c) 5 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है, जिसके अंकों का योगफल 14 है?
(d) वह बड़ी से बड़ी कौन-सी संख्या बनाई जा सकती है, जिसके अंकों का योगफल 14 है? क्या आप इससे भी बड़ी संख्या बता सकतें हैं?
हल:
(a) अंक योग 14 वाली संख्याएँ 59, 95, 86, 149, 167, 347, 1247 इत्यादि हैं।
(b) ऐसी सबसे छोटी संख्या 59 है।
(c) अंक योग 14 वाली 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 95000 है।
(d) अंक योग 14 वाली हम कितने भी अंकों की संख्या बना सकते हैं। उदाहरणार्थ, 950000, 9500000, 95000000, इत्यादि। इसका कोई अंत नहीं है।

प्रश्न 2.
40 से 70 तक की सभी संख्याओं के अंकों का योगफल ज्ञात कीजिए। अपने अवलोकन को कक्षा के साथ साझा कीजिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। यह 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 7 होगा।

प्रश्न 3.
3 अंकों की उन संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनके अंक क्रमागत (जैसे: 345) हों। क्या आप उनमें एक पैटर्न देखते हैं? क्या यह पैटर्न जारी रहेगा?
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। यह 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 होगा। हाँ नहीं। यह पैटर्न 24 पर समाप्त हो जाता है।

पृष्ठ 61

1 से 100 तक की संख्याओं में, अंक ‘7’ कितनी बार आएगा? 1 से 1000 तक की संख्याओं में, अंक ‘7’ कितनी बार आएगा।

हल:
(i) संख्याओं 1-100 में अंक ‘7’ संख्याओं 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 और 97 में आएगा। अतः यह 20 बार आएगा।
(ii) संख्याओं 1-1000 में अंक ‘7’ संख्याओं 7, 17, 27, ……….,79, 87, 97, 107, 117, 127, …, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 187, 197, 207, 217,…….., 287, 297, 307, 317, ….., 387, 397, 407, 417, ….. 477, 478, 479, 487, 497, 507, 517,………, 587, 597, 607, 617,……., 687, 697, 700, 701, 702, 703, 704, 705, 706, 707, 717, 727,………., 767, 777, 787, 797, 807, 817, …….., 887, 897, 907, 917,…, 987, 997 में आएगा।
1-100, 101-200, 201-300, 301-400, 401-500, 501-600, 801-900 और 901-1000 में से प्रत्येक में, ‘7’ 20 बार आएगा।
कुल 20 × 8 = 160 बार।
601 से 700 तक में, ‘7’ कुल 21 बार आएगा।
701 से 800 तक, ‘7’ कुल (99 + 19 + 1) अर्थात्, 119 बार आएगा।
अत:, 1-1000 में, ‘7’ कुल (160 + 21 + 119 ) बार अर्थात्, 300 बार आएगा।

पृष्ठ 61

इन अंकों की सहायता से बनने वाली सभी तीन अंकों की पैलिंड्रोमिक संख्याएँ लिखिए।
हल:
अन्य संभव 3 अंकीय संख्याएँ 111, 333, 131, 212, 232, 323 है।

पहेली (पृष्ठ 62)

पहेली

मैं 5 अंकों का एक पैलिंड्रोम हूँ।
मैं एक विषम संख्या हूँ।
मेरा दहाई का अंक, इकाई के अंक से दो गुना है।
मेरा सैकड़े का अंक, बहाई के अंक से दो गुना है।
मैं कौन हूँ? _______________________
हल:
क्योंकि संख्या एक विषम संख्या है, इसलिए मेरा ‘u’ अंक 1, 3, 5, 7 या 9 हो सकता है। क्योंकि ‘t’ अंक ‘u’ अंक का दुगुना है, इसलिए ‘u’ अंक 5, 7 या 9 नहीं हो सकता है। यह केवल 1 या 3 हो सकता है। यदि ‘u’ अंक 3 है, तो ‘t’ अंक 6 होगा। परंतु h’ अंक ‘h’ अंक का दुगुना है। इसलिए, ‘u’ अंक 3 नहीं हो सकता। अतः ‘u’ अंक केवल 1 हो सकता है। इसलिए ‘t’ अंक 2 और ‘h’ अंक 4 होगा। अतः मैं 12421 हूँ। शब्दों में, यह संख्या बारह हजार चार सौ इक्कीस है।

पृष्ठ 63

इन्हीं चरणों को कुछ 3 अंकों वाली संख्याओं के साथ दोहराइए। कौन-सी संख्या दोहराना शुरू होगी?
हल:
आइए संख्या 734 लें।
A = 743 और B = 347 है।
अतः, A – B = C = 743 – 347 = 396 है।
अब, नया A = 963 और B = 369 है।
अतः, नया C = 963 – 369 = 594 है।
अब, नया A = 954 और B = 459 है।
अतः, नया C = 954 – 459 = 495 है।
इस प्रकार, संख्या 495 की पुनरावृत्ति होने लगेगी।

पृष्ठ 64

लेकिन, क्या किसी वर्ष का कैलेंडर कुछ वर्षों बाद दोहराया जाएगा? क्या किसी वर्ष की सभी तिथियाँ और दिन, ठीक किसी दूसरे वर्ष के कैलेंडर के साथ पूर्णतया मेल करेंगी?
हल:
हाँ। हमेशा नहीं।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 64-65)

प्रश्न 1.
प्रतिभा अंकों ‘4’, ‘7’, ‘3’ और ‘2’ का उपयोग करके 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 7432 तथा सबसे छोटी संख्या 2347 बनाती है। इन दोनों संख्याओं का अंतर 7432 – 2347 = 5085 है। इन दोनों संख्याओं का योगफल 9779 है। निम्नलिखित कथन को हल करने के लिए 4 अंकों को चुनिए-
(a) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर 5085 से अधिक हो।
(b) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर 5085 से कम हो।
(c) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का योगफल 9779 से अधिक हो।
(d) सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का योगफल 9779 से कम हो।
हल:
(a) इसके लिए, हम अंक 4, 8, 3 और 2 लेते हैं। तब, 8432 – 2348 6084 है, जो 5085 से अधिक है।
(b) इसके लिए, हम अंक 4, 6, 3 और 2 लेते हैं। तब, 6432 – 2346 = 4086 है, जो 5085 से कम है।
(c) इसके लिए हम अंक 6, 7, 3 और 2 लेते हैं। तब, 7632 + 2367 = 9999 है, जो 9779 से अधिक है।
(d) इसके लिए, हम अंक 6, 7, 3 और 1 लेते हैं। तब, 7631 + 1367 = 8998 है, जो 9779 से कम है।

प्रश्न 2.
5 अंकों के सबसे बड़े तथा सबसे छोटे पैलिंड्रोम (विलोमाक्षर) का योगफल क्या होगा? उनका अंतर क्या होगा?
हल:
5 अंकों का सबसे छोटा पैलिंड्रोम = 10001
5 अंकों का सबसे बड़ा पैलिंड्रोम = 99999
उनका योग = 110000 है।

प्रश्न 3.
घड़ी में इस समय 10 : 01 बजे हैं। कितने मिनट लगेंगे जब तक की घड़ी अगला पैलिंड्रोम दिखाती है? इस पैलिंड्रोम के बाद आप अगले के बारे में क्या कहेंगे?
हल:
अगला पैलिंड्रोम समय 11 : 11 होगा। अत: वाँछित समय = 11 : 11 – 10 : 01 = 1 : 10 घंटे 70 मिनट है। इसके बाद, अगला पैलिंड्रोम समय 12 : 21 होगा। अतः, इसके लिए वाँछित समय 12 : 21 – 11 : 11 = 1 : 10 घंटे 70 मिनट है।

प्रश्न 4.
संख्या 5683 को कापरेकर स्थिरांक तक पहुँचने की प्रक्रिया में कितने चरण लगेंगे?
हल:
संख्या 5683 है। अतः A = 8653 और B = 3568 है।
अतः, C = 8653 – 3568 = 5085 है।
1 चरण नया, Α = 8550 और B = 0558 है।
अतः, नया C = 8550 – 0558 = 7992 हैं।
2 चरण नया, A = 9972 और B = 2799 है।
अत:, नया C = 9972 – 2799 = 7173 है।
3 चरण नया, A = 7731 और B = 1377 है।
अतः, नया C = 7731 – 1377 = 6354 है।
4 चरण नया, A = 6543 और B = 3456 है।
अतः, नया C = 6543 – 3456 = 3087 है।
5 चरण नया, A = 8730 और B = 0378 है।
अतः, नया C = 8730 – 0378 = 8352 है।
6 चरण नया, A = 8532 और B = 2358 है।
अतः, नया C = 8532 – 2358 = 6174 है।
7 चरण इस प्रकार कापरेकर स्थिरांक 7 चरणों के बाद प्राप्त होता है।

पृष्ठ 66

क्या हम मध्य स्तंभ की संख्याओं का प्रयोग करके 1,000 बना सकते हैं? क्यों नहीं? 14,000, 15,000 और 16,000 के विषय में आपका क्या विचार है? हाँ, यह संभव है। खोज करके देखिए कैसे? कौन-सा हजार नहीं बनाया जा सकता है?
हल:
मध्य स्तंभ की संख्याओं का प्रयोग करके 1000 नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि मध्य स्तंभ में सभी संख्याएँ (400 को छोड़कर) 1000 से अधिक हैं तथा 400 के किसी भी गुणज से हम 1000 नहीं प्राप्त कर सकते हैं।
14000 को बनाया जा सकता है, क्योंकि 14000 400 × 35 है; 15000 को बनाया जा सकता है, क्योंकि 15000 = 15000 × 1 है तथा साथ ही 15000 = 13000 + 400 × 5 भी हैं; जबकि 16000 को बनाया जा सकता है, क्योंकि 16000 = 400 × 40 है।
3000 को नहीं बनाया जा सकता; 5000 को नहीं बनाया जा सकता; 7000 को नहीं बनाया जा सकता; इत्यादि।

पृष्ठ 66

जोड़ना और घटाना
नीचे बॉक्स में दी गई संख्याओं का प्रयोग करके वांछित संख्या को प्राप्त करने के लिए हमें जोड़ने और घटाने की अनुमति है। स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दिया गया है-

हल:

39,800 = 40,000 – 800 + 300 + 300
45,000 = 40,000 + 12,000 – 7,000

5,900 = 12,000 – 7,000 + 300 + 300 + 300
17,500 = 12,000 + 7,000 – 1500

21,400 = 12,000 + 7,000 + 800 + 800 + 800
नोट- संख्याओं को रिक्त स्थानों में भर दिया गया है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 66-67)

प्रश्न 1.
नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति के लिए जहाँ भी संभव हो, वहाँ एक उदाहरण लिखिए।

क्या आप दी गई सभी स्थितियों के लिए उपयुक्त उदाहरण खोज पाए? यदि नहीं, तो सोचिए और चर्चा कीजिए कि इसका क्या कारण हो सकता है? ऐसे ही कुछ और प्रश्न तैयार कीजिए एवं अपने सहपाठियों को चुनौती बीजिए।
हल:
(a) 63,250 + 29,525 = 92,775 है। यह योग 90, 250 से अधिक है।
(b) 99997 + 107 = 100104 है। यह एक 6 अंकीय योग है।
(c) 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। अब, 9999 + 9999 = 19,998 है। अतः हम यहाँ 6 अंकीय योग कभी भी प्राप्त नहीं कर सकते हैं।
(d) 78923 + 42876 = 1,21,799 है। यह एक 6 अंकीय योग है।
(e) 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10,000 है। अब, 10,000 + 10,000 = 20,000 है, जो 18,500 से अधिक है। अतः हम यहाँ कभी भी योग 18,500 प्राप्त नहीं कर सकते हैं।
(f) 87,645 – 32,519 = 55,126 है। यह 56,503 से कम है।
(g) 10,257 – 380 = 9,877 है। यह एक 4 अंकीय अंतर है।
(h) 12469 – 4,358 = 8,111 है। यह एक 4 अंकीय अंतर है।
(i) 98,695 – 97,782 = 913 है। यह एक 3 अंकीय अंतर है।
(j) 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99,999 तथा 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10,000 है।
अब, 99,999 – 10,000 = 89,999 है, जो 91,500 के बराबर नहीं है।
अतः हम यहाँ कभी भी 91,500 नहीं प्राप्त कर सकते नहीं।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।

प्रश्न 2.
हमेशा, कभी-कभी, कभी नहीं?
नीचे कुछ कथन दिए गए हैं। सोचिए, खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन ‘हमेशा सत्य है’, ‘केवल कभी-कभी सत्य है’ ‘या कभी सत्य नहीं है’। आप ऐसा क्यों सोचते हैं? अपने तर्क लिखिए और कक्षा में चर्चा कीजिए।
(a) 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या।
(b) 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 4 अंकों की संख्या।
(c) 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 6 अंकों की संख्या।
(d) 5 अंकों की संख्या – 5 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंकों की संख्या।
(e) 5 अंकों की संख्या 2 अंकों की संख्या से प्राप्त होती है, एक 3 अंकों की संख्या।
हल:
(a) केवल कभी-कभी सत्य है। उदाहरणार्थ, 44,443 + 55,554 99,997 एक 5 अंकीय संख्या है तथा 87,250 + 21,319 = 1,08,569 एक 5 अंकीय संख्या नहीं है।
(b) केवल कभी-कभी सत्य है। उदाहरणार्थ, 9,843 + 23 = 9,866 एक 4 अंकीय संख्या है परंतु 9,998 + 21 = 10,019 एक 4 अंकीय संख्या नहीं है।
(c) कभी भी सत्य नहीं है। उदाहरणार्थ, 9999 + 99 = 10,098 जो एक 5 अंकीय संख्या है।
(d) केवल कभी-कभी सत्य है। उदाहरणार्थ, 98,789 – 87,678 = 11,111 एक 5 अंकीय संख्या है, परंतु 99,896 – 97,185 = 2,711 एक 4 अंकीय संख्या है।
(e) कभी भी सत्य नहीं है, क्योंकि 10,000 – 99 = 9,901 एक 3 अंकीय संख्या नहीं है।

पृष्ठ 67-68

इन प्रश्नों को हल करने के लिए आपने जिन अलग-अलग विधियों का प्रयोग किया है, उसे कक्षा में साझा कीजिए और चर्चा कीजिए।


हल:
हुम प्रत्येक स्थिति में एक कम समय में हल प्राप्त करने की विधि का उपयोग करते हैं। निर्देशानुसार कीजिए।
(a) योग = 40 × 4 + 50 × 5 + 40 × 4 + 50 × 5 + 40 × 4
= 160 + 250 + 160 + 250 + 160
= 160 × 3 + 250 × 2
= 480 + 500
= 980 है।

(b) योग = 1 × 8 + 1 × 4 + 5 × 4 + 1 × 4 + 5 × 4 + 1 × 6 + 5 × 2 + 1 × 6 + 5 × 2 + 1 × 4 + 5 × 4 + 1 × 4 + 5 × 4 + 1 × 8
= 8 + 4 + 20 + 4 + 20 + 6 + 10 + 6 + 10 + 4 + 20 + 4 + 20 + 8
= 8 × 2 + 4 × 4 + 20 × 4 + 6 × 2 + 10 × 2
= 16 + 16 + 80 + 12 + 20
= 32 + 80 + 32
= 32 × 2 + 80
= 64 + 80
= 144 है।

(c) योग = 32 × 32 + 64 × 16
= 1024 + 1024
= 1024 × 2
= 2048 है।

(d) योग = 3 × 7 + 4 × 6 + 3 + 4 × 6 + 3 + 4 × 6 + 3 + 3 × 7
= 21 + 24 + 3 × 3 + 24 + 24 + 21
= 21 × 2 + 24 × 3 + 9
= 42 + 72 + 9
= 114 + 9
= 123 है।
या योग हो सकता है: 18 × 6 + 3 × 5 = 108 + 15 = 123

(e) योग = 15 × 4 + 35 × 6 + 25 × 4 + 25 × 6 + 35 × 4 + 15 × 6 + 25 × 4 + 35 × 6 + 15 × 4 + 25 × 6 + 35 × 4 + 15 × 6 + 15 × 1 + 25 × 1 + 35 × 2 + 25 × 1 + 15 × 1
= 15 × 22 + 35 × 22 + 25 × 22
= 330 + 770 + 550
= 1650

(f) योग = 1000 × 1 + 500 × 4 + 250 × 8 + 125 × 18
= 1000 + 2000 + 2000 + 2250
= 7250 है।

पृष्ठ 69

प्रत्येक अनुक्रम को अपने पसंद की पूर्ण संख्या से शुरू करके ऊपर जैसे कुछ और कोलाट्ज अनुक्रम बनाइए । क्या आप हमेशा 1 पर पहुँचते हैं? क्या आपको लगता है कि कोलाट्ज के अनुमान में इस प्रकार का प्रत्येक अनुक्रम 1 पर पहुँचेगा? क्यों और क्यों नहीं?
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। हाँ। क्योंकि यह अभी भी अनसुलझा अनुमान है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 69-70)

अब हम कुछ सरल आकलन करेंगे। यह एक मनोरंजक अभ्यास है और इसके द्वारा आप अपने आस-पास की विभिन्न संख्याओं को जानकर प्रसन्न होंगे। याद रखिए, दिए गए प्रश्नों के लिए सही संख्या जानने में हमारी रुचि नहीं है। अपने आकलन के तरीके को कक्षा के साथ साझा कीजिए।

प्रश्न 1.
आपके द्वारा चलने के लिए उठाए गए कदम:
(a) जिस स्थान पर आप बैठे हैं से लेकर कक्षा के दरवाजे तक
(b) विद्यालय के मैदान के चारों ओर सिरे से सिरे तक
(c) कक्षा के दरवाजे से विद्यालय के दरवाजे तक
(d) आपके विद्यालय से आपके घर तक
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। कुछ उदाहरण दिए जा रहे हैं-
(a) 10 कदम
(b) 1500 कदम
(c) 200 कदम
(d) 6000 कदम

प्रश्न 2.
आपके द्वारा आँखों को झपकने की संख्या या आपके द्वारा ली गई साँसों की संख्या:
(a) एक मिनट में
(c) एक दिन में
(b) एक घंटे में
हल:
(a) 60
(b) 3600
(c) 65000

प्रश्न 3.
अपने आसपास ऐसी वस्तुएँ ज्ञात कीजिए जिनकी संख्या:
(a) कुछ हजार है
(b) दस हजार से अधिक है
हल:
(a) हमारे मोहल्ले में रहने वाले व्यक्तियों की संख्या।
(b) हमारे मोहल्ले में पानी के नलों की टोटियों की संख्या।

उत्तर का आकलन कीजिए (पृष्ठ 70-71)

30 सेकंड के अंदर अनुमान लगाने का प्रयास कीजिए। अपने अनुमान को अपने दोस्तों के साथ जाँचिए।

प्रश्न 1.
आपकी गणित की पाठ्यपुस्तक में शब्दों की संख्या:
(a) 5000 से अधिक
(b) 5000 से कम
हल:
निर्देशानुसार कीजिए।
(a) 5000 से अधिक

प्रश्न 2.
आपके विद्यालय में बस द्वारा आने वाले विद्यार्थियों की संख्या:
(a) 200 से अधिक
(b) 200 से कम
हल:
(a) 200 से अधिक

प्रश्न 3.
रोशन 5 व्यक्तियों के लिए फ्रूट कस्टर्ड बनाने के लिए दूध और 3 प्रकार के फल खरीदना चाहता है। उसका अनुमान है कि फ्रूट कस्टर्ड बनाने की लागत ₹ 100 है। क्या आप उससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
नहीं। मैं सहमत नहीं हूँ। इसका कारण यह है कि 5 व्यक्तियों के लिए कस्टर्ड बनाने के लिए आवश्यक केवल दूध या फलों की पृथक-पृथक लागत ही ₹ 100 से अधिक होगी। अतः उसका आकलन सही नहीं है।

प्रश्न 4.
गांधीनगर (गुजरात में) और कोहिमा (नागालैंड में) के बीच की दूरी का आकलन कीजिए।
[संकेत- इन शहरों का पता लगाने के लिए भारत के मानचित्र को देखिए।]
हल:
3000 किमी

प्रश्न 5.
शीतल कक्षा 6 में है और कहती है कि उसने विद्यालय में आज तक लगभग 13,000 घंटे व्यतीत किए हैं? क्या आप उससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
हल:
नहीं कक्षा 6 में आने से पहले, शीतल ने नर्सरी से अध्ययन प्रारंभ करके के.जी. से कक्षा 5 तक अध्ययन किया होगा, जो कुल सात कक्षाएँ बनती हैं। यह परिकल्पना करते हुए कि स्कूल प्रति वर्ष 200 दिन खुलता है और प्रत्येक दिन 7 घंटे तक पढ़ाई होती है, उसके द्वारा व्यतीत किया गया समय = 7 × 200 × 7 = 49 × 200 घंटे 9800 घंटे है, जो 13000 घंटों से बहुत कम है। ध्यान दीजिए कि हम इस उद्देश्य के लिए कक्षा 6 को नहीं गिन सकते हैं।

प्रश्न 6.
पुराने समय में यातायात के साधन उपलब्ध नहीं होने के कारण लोग लंबी दूरी पैदल चलकर तय करते थे। माना आप अपनी सामान्य गति से चलते हैं। आपको निम्न स्थानों से जाने में लगभग कितना समय लगेगा?
(a) आपके वर्तमान स्थान से आपके आसपास के एक पसंदीदा स्थान तक
(b) आपके वर्तमान स्थान से किसी पड़ोसी राज्य की राजधानी तक
(c) भारत के सुदूर दक्षिणी बिंदु से भारत के सुदूर उत्तरी बिंदु तक
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।
(a) 2 घंटे
(b) (दिल्ली में किसी स्थान से लखनऊ तक), बिना रुके 150 घंटे।
(c) (कन्याकुमारी से लद्दाख तक), बिना रुके 1000 घंटे।

प्रश्न 7.
आकलन के कुछ प्रश्न बनाइए और अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए।
उदाहरण- स्कूल के मैदान का एक चक्कर लगाने में लिए गए समय का आकलन कीजिए तथा फिर इस आकलन की मैदान का वास्तव में चक्कर लगाकर जाँच कीजिए।

पृष्ठ 71-72

खेल 1 के लिए नियम: पहला खिलाड़ी 1 और 3 के एक संख्या बोलता है। अब दोनों खिलाड़ी बारी-बारी से पहले बोली गई संख्या में 1, 2 या 3 जोड़ते हैं। जो पहले 21 पर पहुँचेगा, वह जीतेगा!
इस खेल को अपने सहपाठियों के साथ कई बार खेलिए। क्या आपको जीतने की युक्ति दिखने लगी है?
कौन-सा खिलाड़ी हमेशा जीत सकता है, यदि वह सही पैटर्न से खेलता है? जीतने वाले खिलाड़ी को कौन-सी संख्या का पैटर्न आना चाहिए?
नोट- निर्देशानुसार खेलिए जीतने वाले खिलाड़ी को सदैव प्रत्येक चाल में सावधान रहना चाहिए तथा उसे सदैव ऐसी संख्या बोलनी चाहिए ताकि उसे जोड़ने के बाद 3 का एक गुणज (18 के अतिरिक्त) बन जाए, क्योंकि अंत में उसे 21 (18 के बाद 3 का अगला गुणज) प्राप्त होना चाहिए।

खेल 2 के लिए नियम: पहला खिलाड़ी 1 से 10 तक के बीच कोई संख्या बोलता है। अब दोनों खिलाड़ी बारी-बारी से पहली बोली गई संख्या में 1, 2 या 3 जोडते हैं। जो खिलाड़ी पहले 99 पर पहुँचेगा वह जीतेगा।
इस खेल को अपने सहपाठियों के साथ कई बार खेलिए। देखिए क्या आप जीतने की संगत रणनीति को समझ पा रहे हैं? कौन-सा खिलाड़ी हमेशा जीत सकता है। इस बार जीतने वाले खिलाड़ी की संख्या का पैटर्न क्या होगा?
इस खेल में अपने आपसे परिवर्तन कीजिए। स्वयं निर्धारित कीजिए कि प्रत्येक बार में कितना जोड़ा जा सकता है और कौन-सी संख्या जीतने वाली संख्या है। अब इस खेल को कई बार खेलिए और जीतने की रणनीति को जानिए कि कौन-सा खिलाड़ी हमेशा खेल जीत सकता है।
नोट- निर्देशानुसार खेलिए। खेल 1 की तरह, यहाँ जीतने वाले खिलाड़ी को जहाँ तक संभव हो, 1 और 10 के बीच की ऐसी संख्या बोलनी चाहिए, जिसको जोड़ने पर 9 का एक गुणज (90 के अतिरिक्त) प्राप्त हो, क्योंकि अंत में उसे 99 प्राप्त करना चाहिए, जो 90 के बाद, 9 का अगला गुणज है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 72)

प्रश्न 1.
यहाँ इस ग्रिड में केवल एक महाकोष्ठ है (अपने पड़ोस की सभी संख्याओं में बड़ी संख्या)। यदि आप इनमें से किसी एक संख्या के दो अंकों की अदला-बदली करते हैं, तो यहाँ 4 महाकोष्ठ बन जाते हैं। जानिए कि कौन-से अंकों की अदला-बदली की जानी चाहिए।

हल:
62,871 में अंकों 6 और 1 की अदला-बदली करनी चाहिए, जिससे वह 12,876 हो जाती है। तब यहाँ चार महाकोष्ठ होंगे जैसा नीचे (छायांकित) दर्शाया गया है:

प्रश्न 2.
अपने जन्म वर्ष से शुरू करके आप कितने चरण में कापरेकर स्थिरांक पर पहुँच जाएँगे?
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। तिथि 3-8-18 के लिए, यह नीचे दर्शाए अनुसार किया गया है: 3818
A = 8831; B = 1388 है; अतः, C = 8831 – 1388 = 7443 है। ……(i)
नया, A = 7443, B = 3447 है; अतः, C = 7443 – 3447 = 3996 है। ……(ii)
नया, A = 9963, B = 3699 है; अतः, C = 9963 – 3699 = 6264 है। ……(iii)
नया, A = 6642, B = 2466 है; अतः, C = 6642 – 2466 = 4176 है। ……(iv)
नया, A = 7641, B = 1467 है; अतः, C = 7641 – 1467 = 6174 है। ……. (v)
अतः, कापरेकर स्थिरांक 5 चरणों के बाद प्राप्त हो जाता है।

प्रश्न 3.
हम 35,000 और 75,000 के बीच पाँच अंकों की संख्याओं का वह समूह है, जिसके सभी अंक विषम हैं। हमारे समूह की सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? हमारे समूह की सबसे छोटी संख्या कौन-सी है? हम में से कौन-सी संख्या 50,000 के अत्यधिक निकट है?
हल:
सबसे बड़ी संख्या = 73,999 है।
सबसे छोटी संख्या = 35,111 है।
50,000 के निकटतम संख्या = 51,111 है।

प्रश्न 4.
आकलन कीजिए कि आपको वर्ष में सप्ताहांतों (Weakends), त्योहारों और छुट्टियों को मिलाकर कुल कितनी छुट्टियाँ मिलती हैं। अब अपनी छुट्टियों की सही संख्या का पता लगाइए और देखिए कि सही संख्या आपके आकलन के कितना समीप है।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। लगभग 160 छुट्टियाँ।

प्रश्न 5.
एक जग, एक बाल्टी और एक छत पर रखी टंकी की क्षमता का लीटर में आकलन कीजिए।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। (मग : \(\frac{1}{4}\) लीटर, बाल्टी : 5 लीटर, छत पर रखी टंकी : 1000 लीटर)

प्रश्न 6.
एक 5 अंकों की संख्या तथा दो 3 अंकों की संख्याएँ इस प्रकार लिखिए कि उनका योगफल 18,670 हो।
हल:
18,400 + 130 + 140 = 18,670 है। (उत्तर अद्वितीय नहीं है।)

प्रश्न 7.
210 और 390 के बीच एक संख्या चुनिए। अनुच्छेद 3.9 में दिए गए संख्या पैटर्न के समान एक पैटर्न निर्मित कीजिए, जिसमें यह चुनी गई संख्या योगफल हो।
नोट- निर्देशानुसार कीजिए। उदाहरणार्थ, संख्या 300 चुनिए।
वाँछित पैटर्न नीचे दर्शाए अनुसार है:

इससे योग 15 × 8 + 30 × 6 = 120 + 180 = 300 प्राप्त होता है।

प्रश्न 8.
अध्याय 1 की सारणी 1 से 2 की घात का अनुक्रम याद कीजिए। इस अनुक्रम में शुरू की सभी संख्याओं के लिए कोलाट्ज अनुमान सही क्यों है?
हल:
2 की घातों का अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16, 32,……. है। यहाँ 1 स्वयं 1 पर अंत हो रहा है। 2 की अन्य घातों के संबंध में, मान लीजिए 64 के लिए, हम प्राप्त करते हैं :
\(\frac{64}{2}=32, \frac{32}{2}=16, \frac{16}{2}=8, \frac{8}{2}=4, \frac{4}{2}=2, \frac{2}{2}=1\)
इस प्रकार, यह 1 पर समाप्त हो रहा है। इसी प्रकार, 128 इत्यादि जैसी अन्य घातें भी 1 पर समाप्त होती हैं। जैसे कि
\(\frac{128}{2}=64, \frac{64}{2}=32, \frac{32}{2}=16, \ldots, \frac{4}{2}=2, \frac{2}{2}=1,\)
जो एक पर समाप्त हो रही है। अतः, कोलाट्ज अनुमान 2 की घातों के अनुक्रम की सभी प्रारंभिक संख्याओं के लिए सही है।

प्रश्न 9.
यदि कोई व्यक्ति संख्या 100 से शुरू करता है, तो क्या कोलाट्ज अनुमान लागू होगा, इस विषय की जाँच कीजिए।
हल:
\(\frac{100}{2}\) = 50, \(\frac{50}{2}\) = 25, 25 × 3 + 1 = 76, \(\frac{76}{2}\) = 38, \(\frac{38}{2}\) = 19, 19 × 3 + 1 = 58, \(\frac{58}{2}\) = 29, 29 × 3 + 1 = 88, \(\frac{88}{2}\) = 44, \(\frac{44}{2}\) = 22, \(\frac{22}{2}\) = 11, 11 × 3 + 1 = 34, \(\frac{34}{2}\) = 17, 17 × 3 +1 = 52, \(\frac{52}{2}\) = 26, \(\frac{26}{2}\) = 13, 13 × 3 + 1 = \(\frac{40}{2}\) = 20, \(\frac{20}{2}\)= 10, \(\frac{10}{2}\) = 5, 5 × 3 + 1 = 16, \(\frac{16}{2}\) = 8, \(\frac{8}{2}\) = 4, \(\frac{4}{2}\) = 2, \(\frac{2}{2}\) = 1 है।
इस प्रकार, कोलाट्ज अनुमान लागू रहता है।

प्रश्न 10.
शून्य से प्रारंभ करते हुए खिलाड़ी बारी-बारी से 1 और 3 के बीच संख्या को जोड़ता है, जो व्यक्ति 22 पर पहले पहुँचेगा, वह विजयी होगा। अब जीतने की युक्ति क्या होगी?
हल:
इस खेल में, जीतने वाले के लिए जीतने की युक्ति यह है कि वह ऐसी संख्या बोले जिसे जोड़ने पर 2 का एक गुणज (20 के अतिरिक्त) प्राप्त हो, क्योंकि 2 × 11 = 22 है और 22 ही 2 का अगला गुणज है।